Towards a ‘Treatise’ of 7-Limit Harmony

ABSTRACT: Limits are a way to categorise harmonic structures as networks of arithmetic relationships within the boundaries of specific prime factors. In microtonal music, the theory of limits was introduced by Harry Partch and further developed by Ben Johnston who invented the first method of notation in extended just intonation. Prime factors may be imagined as something similar to spatial dimensions and depicted geometrically, such as in Leonhard Euler’s and Hugo Riemann’s lattices. For example, if (in addition to the octave) traditional thirds-harmony involves two prime factors (3, 5), all of its relationships can be drawn into a coordinate system where the notes figure both on the x- and y-axis, in two dimensions so to speak. Each higher limit would, thus, require an additional dimension (provided that intervals in the respective higher limits occur). Far from simply adding new interval sizes, it seems that every limit unfolds characteristic tendencies and constraints. My objective is to explore extended just intonation by means of functions very similar to those of 5-limit tonality. Accordingly, my analysis focuses on principles of harmonic transformation – resolution, suspension, modulation, etc. – and its application in the quest to overarch large-form development. Compared to conventional tonal music (limit 5), I will step up by only one additional limit, using a restrictive three-voice setup to determine basic cadential formulas. All I intend to propose within the scope of an experiment are prerequisites to a more comprehensive treatise of 7-limit harmony.

Limits erleichtern die Klassifizierung harmonischer Strukturen als Netzwerke arithmetischer Beziehungen innerhalb der Grenzen bestimmter Primzahl-Faktoren. Die Theorie der Limits in mikrotonaler Musik geht auf Harry Partch zurück. Ben Johnston entwickelte sie weiter und schuf die erste Notationsmethode in erweiterter reiner Stimmung. Primzahl-Faktoren lassen sich wie räumliche Dimensionen vorstellen und (vergleichbar mit Leonhard Eulers und Hugo Riemanns Tonnetzen) geometrisch abbilden. Gemäß dieser Anschauung beruht die traditionelle Terzharmonik (über die Oktav hinaus) auf zwei Primfaktoren (3, 5) und entsprechend können alle ihre Zusammenhänge in einem Koordinatensystem dargestellt werden, in welchem jeder Ton auf der x- und der y-Achse, sozusagen zweidimensional, erscheint. Eine Erhöhung des Limits (d. h. wenn Intervalle aus höheren Limits hinzutreten) erfordert zusätzliche Dimensionen. Über die bloße Hinzurechnung neuer Intervallgrößen hinaus scheint jedes Limit charakteristische Tendenzen und Bedingungen zu entfalten. Mein Ziel ist, die erweiterte reine Stimmung auf Funktionen hin zu untersuchen, die sich mit denen herkömmlicher tonaler Musik (Limit 5) vergleichen lassen. Meine Analyse widmet sich demgemäß Prinzipien harmonischer Verwandlung – Auflösung, Spannung, Modulation etc. – und ihrem Einsatz im Bestreben, großformale Strukturabläufe zu überspannen. Im Vergleich zur Terzharmonik (Limit 5) werde ich nur ein einziges Limit höher ansetzen und, in der beschränkten Versuchsanordnung eines dreistimmigen Kontrapunkts, einfache Kadenzformeln bestimmen. Alles, was ich im Rahmen meines Experiments vorschlagen möchte, sind Voraussetzungen einer umfassenderen Harmonielehre im Limit 7.